Page 108 - index

· A utom A tiz A ción y c ontrol de Procesos i ndustri A les ·

son imaginarias e iguales.
Si ζ = 0,5 Las raíces son complejas con la parte real negativa, primero hay un pico y luego la curva desciende hacia un valor constante.
Si ζ < 1 hay oscilaciones pero son amortiguadas
Si ζ = 1, desaparecen las oscilaciones: φ = arctg 0 = 0 y sen 0 / 0 = 1 y queda sólo una exponencial de –t/T, que da una curva
descendente con un pico.
-t/T
x = 1/k ( 1-(1+ t / T) e ),
Si ζ > 1, el denominador de la función de transferencia asume la forma:
2 2
T s + 2ζTs +1 = (T s+1)(T s+1)
b
a
(T s+1)(T s+1) = 0, tiene dos raíces reales y la respuesta temporal es formalmente igual a un sistema térmico de segundo orden.
a
b
Las raíces son reales, no hay picos ni oscilaciones.

· Respuesta frecuencial
La respuesta en frecuencia de un sistema es la que se produce al ingresar una señal sinusoidal x = A sen ωt. Para implementarla
hay que abrir el lazo, por ejemplo, hacer variar el valor deseado de esa manera, cortar la señal b que vuelve como realimentación
y registrarla. Con el lazo cortado se tiene la función de transferencia a lazo abierto, que llamaremos G:

G = G K G H (48)
2
v
1
G K , es la función de transferencia del controlador-válvula, G la del proceso y H la del elemento de medición-transmisor, cada
2
v
1
una con su ganancia. El producto de todas ellas es un número.
La salida consta de una parte transitoria, que desaparece rápidamente al aumentar la frecuencia, una parte permanente, de ampli-
tud menor y un retardo de fase respecto de la onda que se ingresa.
Teorema. La parte permanente de la respuesta en frecuencia se obtiene, reempla- Figura 21 - Vector complejo
zando, simplemente s por iω en la función de transferencia. i= es la unidad
imaginaria, ω la pulsación o frecuencia angular (rad/min) de la onda o sea 2πf, siendo
f la frecuencia (1/min). El período τ = 1/f. El resultado (G/iω) de reemplazar s por
iω es un número complejo z = x + yi, la variable real se transforma en una variable
compleja, como en electrotecnia, donde la corriente y la tensión cambian a vectores
complejos. Tener la respuesta frecuencial fácilmente, es una simplificación de nota-
bles consecuencias: Permite analizar la estabilidad de los sistemas sin hacer tediosas
integraciones ¡Muchas veces el camino más corto entre un enunciado y un resultado
reales pasa por el campo complejo!

En el plano complejo, de eje real x e imaginario iy, z es un vector, de módulo ρ y argumento Φ.

(49)

Una forma alternativa de representar un número complejo es entonces:

z = ρ(cosΦ+i senΦ) (50)

ρ cosΦ es la proyección del vector G sobre el eje x y ρ senΦ la proyección sobre el eje y mediante la fórmula de Euler L. (Suiza
(1707-1783) se puede pasar a la forma exponencial del complejo, de gran utilidad en la teoría del control automático y de notable
sencillez

z = ρe se simboliza z = |z | Φ (51)
iΦ
El complejo que tiene la parte imaginaria de signo contrario se denomina conjugado.
Si no hay polos en la función de transferencia a lazo abierto G, y es estable (el denominador igualado a cero no tiene reales posi-
tivas), Φ es negativo. Si G tiene polos (es inestable pues hay raíces reales positivas en el denominador de G) Φ es positivo. En la
gran mayoría de los casos G es estable y Φ es negativo: hay un retardo de fase. En los reactores G puede ser inestable y Φ positivo.

428 A&G 100 • Tomo XXV • Vol. 3 • 412-439 • (2015)