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· A utom A tiz A ción y c ontrol de Procesos i ndustri A les ·

· Estabilidad de sistemas de lazo cerrado

La teoría del control automático, y la herramienta del cálculo simbólico de Laplace, sirven para saber si un sistema de lazo cerra-
do es estable o no y cuales son los parámetros que lo determinan. Una de las bases de este andamiaje es el principio de superpo-
sición de los sistemas lineales, enunciado por Euler el el siglo 18, que dice que si dos o más sistemas, A,B,C, ..., reaccionan de
determinada manera a las respectivas causas a,b.c, ..., cuando ocurren juntos, sus efectos α,β,γ, se suman simplemente. Otra es
el primer teorema de Liapunov A.A. (Rusia, 1887-1918): dice que si se demuestra que un sistema linearizado es estable, el real,
no lineal, también lo es. José Luis Massera, matemático uruguayo (1918-2002), hizo importantes aportes sobre estabilidad de
ecuaciones diferenciales, en particular no lineales. Hay un lema que lleva su nombre.

Una de las mayores ventajas del cálculo simbólico, es que no hace falta la respuesta temporal, a un escalón, por ejemplo, para
saber si el sistema va a ser o no estable. Matemáticamente, es suficiente que la ecuación formada con el denominador de la fun-
ción de transferencia del sistema de lazo cerrado (34) igualado a cero, 1+G no tenga ninguna raíz positiva o compleja con parte
real positiva. Ello ocurre porque c(t)/v(t), la respuesta temporal buscada, es la solución de una ecuación diferencial lineal ordi-
naria, con un factor exponencial que y crecería sin cesar si el exponente fuera real positivo. Para que haya amortiguamiento es
necesario que sean negativas. Este criterio de Routh E.(Inglaterra 1831-1907) es útil, sabremos si el sistema es o no estable, pero
no nos dice nada sobre el grado de estabilidad , es decir, cuán lejos o cerca se encuentra del hunting.

El criterio de Nyquist H.I. (Suecia 1899-USA 1976) es el más exhaustivo pero su demostración requiere el manejo de las fun-
ciones de una variable compleja. Es una manera gráfica de investigar si hay raíces positivas en la ecuación 1+G = 0. El método
consiste en hallar la respuesta en frecuencia de la función de transferencia a lazo abierto G =G K G H, que se obtiene reempla-
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zando s por iω, como habíamos dicho y luego variando ω desde 0 a valores muy altos tendiendo a ∞. Los valores de ρ y de Φ
se representan en un diagrama polar No hace falta calcular los valores entre 0 y -∞ porque la curva es simétrica respecto del eje
iΦ
real. Se hace en un diagrama con el eje real horizontal y el imaginario vertical. La función G(iω) = ρe es un vector complejo
de módulo ρ y argumento Φ , como viéramos antes. Si la función de transferencia a lazo abierto es estable, es decir que no tiene
ningún polo, o sea raíces reales positivas, o complejas de parte real positiva en el denominador, el sistema es estable si la traza de
G, recorrida en el sentido de las agujas del reloj, no envuelve al punto -1. Esto es evidente si se recuerda que el denominador de la
función de transferencia a lazo cerrado, es 1+G, que resulta de hacer la suma vectorial de -1 y G. La proximidad al punto -1, del
cruce de la curva indica el grado de estabilidad.

Cuando la función de transferencia a lazo abierto es inestable, como puede ocurrir en un reactor exotérmico, el criterio no es tan
simple: Si Z es el número de ceros de 1+G , o sea raíces positivas que lo anulan, P el numero de polos de G, o sea raíces de parte
real positiva que anulan su denominador y N el número de veces que la traza de G envuelve al punto -1, esta vez recorrido en
sentido contrario a las agujas del reloj, según el principio del argumento de Cauchy A. (Francia 1789-1857), Z = P-N y el criterio
de Nyquist dice que el sistema es estable si Z = 0 , o bien P=N.
en el fondo, lo mismo que aquel gran matemático demostrara un siglo antes.

El grado de estabilidad del lazo de control, cuando G es estable, se ve por la proximidad de la curva al punto -1 y muestra que un
aumento de la ganancia del sistema de control, incrementanta proporcionalmente el radio vector y puede tornar inestable el siste-
ma. Se denomina margen de ganancia y se simboliza MG

(59) Figura 26 - Diagrama vectorial de Nyquist

Depende de la relación entre la ganancia la adoptada K y la de resonancia K . Hay
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otras formas de expresar dicho margen. Si G es inestable es a la inversa: una ganancia
baja puede hacer que no se envuelva al punto -1 en sentido anti-reloj y el sistema
hacerse inestable.

Más accesible es el criterio de estabilidad de Bode H.W.(USA 1905-1982) que se
deriva de aquel y es aplicable cuando es estable la función de transferencia a lazo
abierto G =G K G H, como ocurre en la mayoría de los casos. La excepción podría
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ser un reactor. Es el más simple y utilizado, pero menos general. Sintéticamente dice
que si la respuesta en frecuencia G(iω) = ρe -iωφ de la función de transferencia a lazo
abierto, el retardo de fase φ del vector G(iω) es menor que 180º a altas frecuen-
432 A&G 100 • Tomo XXV • Vol. 3 • 412-439 • (2015)